App. Integral


Aplikasi Turunan Parsial Dalam Bidang Fisika

 

Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarang ini matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut.

Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial  dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi tersebut.

Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu:

y = ½gx2+v0x+y0 dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadiy=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.

Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.

Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

 

Penerapan Aplikasi Turunan pada Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasa sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk bidang ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan secara sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.

 

Tinjaulah sebuah perusahaan pada umumnya, PT. ABC untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa televise, aki kendaraan, atau sabun dalam kemasan. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p bergantung pada x karena bilamana ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), jumlah satuan kali harga tiap satuan.

Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total, C(x). Ini biasanya berupa jumlah daribiaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dsb) ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, p(x). Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya, yakni

P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.

Hal yang harus diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (Anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televise atau π aki mobil. Jadi, fungsi R(x), C(x), dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x = 0, 1, 2, …… . Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari pemodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuka model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhakan beberapa anggapan. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna. Seorang ahli statistik terkenal mengatakan : “Tidak ada model yang akurat, tapi banyak model yang bermanfaat.”

Suatu masalah yang berkaitan bagi seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x). Dalam hal yang sederhana, C(x) dapat berbentuk

C(x) = 10.000 + 50x

Jika demikian, Rp10.000,00 merupakan biaya tetap dan Rp.50x,00 merupakan biaya tidak tetap, berdasarkan pada biaya langsung Rp.50,00 untuk setiap sauna yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih umum adalah :

 

Perhatikanlah bahwa dalam kasus ini rata-rata biaya tidak tetap tiap satuan adalah :

 

Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi).

Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang tidak jelas . Kadangkala keduanya dapat ditentukan dari anggapan-anggapan dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahan akan menyarankan pilihan-pilihan yang layak. Kadang-kadang kita harus melakukannya hanya dengan pikiran saja.

Penggunaan kata marjinal. Andaikan ABC mengetahui funsi biayanya C(x) dan untuk sementara merencankan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, APakah itu akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.

Direktur Utama Toko Buku Karisama menanyakan nilai delta C/delta x pada saat delta x=1. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat terhadap nilai

 

Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x.

Dengan cara yang serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.

Contoh:

Andaikan

Carilah biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal, dan kemudian hitunglah kedua biaya tersebut bilamana x = 1000.

Penyelesaian:

 

Pada x = 1000, ini masing-masing mempunyai nilai-niali 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa rata-rata biaya setiap satuan adalah Rp11,95,00 untuk memproduksi 1000 satuan yang pertama; untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlukan biaya Rp3,38,00.

 

APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU DALAM BIDANG EKONOMI

B. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x) dx = F(x) + k

dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka

Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5

Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka

∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k

karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turuna konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudan ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebaliokan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferansiasi, maka kaidah-kaidah integasi tek tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferansiasi.

Kaidah 1. Formula pangkat

∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1

contoh:
1) ∫ x4 dx = x4+1 + k = x5 + k
4 + 1 5

2) ∫ 4 dx = 4×0+1 = 4x + k
0 + 1

Kaidah 2. Formula logaritmis

∫ 1/x dx = ln x + k

contoh:
1) ∫ 3/x dx = 3 ln x + k

2) ∫ 3 = ∫ 3 d(x + 1) + k = 3 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1

Kaidah 3. Formula eksponensial

∫ ex dx = ex + k
∫ eu du = eu + k u = f(x)

contoh:
1) ∫ ex+2 dx = ∫ ex+2 d(x + 2) = ex+2 + k

2) ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k

Kaidah 4. Formula penjumlahan

∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
= F(x) + G(x) + k

contoh:
1) ∫ (x4 + 3×2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3×2 dx = 0,2 x5 + x3 + k

2) ∫ (ex + 1/x) dx = ∫ ex dx + ∫ 1/x dx = ex + ln x + k

Kaidah 5. Formula perkalian

∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx n ≠ 0

contoh:
1) ∫ 3×2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 ( x2+1 + k ) = x3 + k
2+1

2) ∫ -x3 dx = -∫ x3 dx = – ( x3+1 + k ) = ¼ x4 ±
3+1

Kaidah 6. Formula substitusi

∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
dx

dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dx

contoh:
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3×2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3×2 – 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3×2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3×2 – 10)2 + k
2
= ½ (9×4 – 60×2 + 100) + k
= 4,5 x 4 – 30×2 +50 + k
= 4,5 x 4 – 30×2 + k
dimana k + 50 + k

BAB II
MASALAH DAN PEMBAHASAN

A. MASALAH
Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam menyelesaikan masalah fungsi biya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan. Marilah kita lihat masalah seperti apa yang mungkin akan timbul dari masing-masing fungsi tersebut.

fungsi biaya
Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

fungsi penerimaan
Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q

fungsi utilitas
Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q

fungsi produksi
Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3×2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.

fungsi konsumsi dan tabungan
Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

B. PEMBAHASAN
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya.

Fungsi biaya
Biaya total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal

C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 – 6Q + 4.) dQ
= Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : C/Q = Q3 – 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka:
C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4/Q

Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal

R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

d. Fungsi Produksi
Produsi total😛 = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal

P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3×2 ) dX
= 9×2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2

e. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a

Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous consumption dan outonomous saving.

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.

 

 

 

Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s